Un equipo de investigadores de Madrid, Londres y Múnich han demostrado que, aunque se disponga de una descripción completa de las propiedades microscópicas de un material, no siempre se puede predecir su comportamiento macroscópico. El problema del gap espectral, central en física cuántica y de partículas, no tiene solución general.
El gap espectral representa la energía necesaria para transferir un electrón de un estado de baja energía a un estado excitado. Por ejemplo, un gap espectral pequeño es la propiedad central de los semiconductores. De forma similar, esta cantidad juega un papel importante en muchos otros materiales.
Cuando el gap espectral se hace pequeño, es decir, se cierra, el material puede cambiar a otro estado totalmente diferente, lo que ocurre, por ejemplo, cuando un material se convierte en un superconductor.
“No puede existir un método general para determinar si un sistema, descrito mediante la mecánica cuántica, tiene o no tiene gap espectral”, dice Toby Cubitt
“La posibilidad de extrapolar la descripción microscópica del material a las propiedades del sólido es una de las herramientas más importantes en la búsqueda de materiales superconductores a temperatura ambiente o con otras propiedades de interés”, afirma David Pérez García, investigador de la UCM y miembro del ICMAT.
Pérez es uno de los autores de un estudio publicado hoy en Nature que muestra una limitación fundamental en este enfoque. Con matemáticas sofisticadas, los autores han demostrado que, aun disponiendo de una descripción microscópica completa de un material cuántico, determinar si tiene o no gap espectral es un problema indecible.
“Alan Turing es conocido por su papel en la descodificación de la máquina Enigma. Pero dentro de la comunidad matemática e informática, es mucho más famoso su trabajo en lógica: demostró que algunas preguntas matemáticas son indecibles. Es decir, no son ni ciertas ni falsas. Simplemente están más allá del alcance de las matemáticas”, cuenta Toby Cubitt, investigador del University College of London (UCL) Computer Science, coautor del resultado.
“Nosotros hemos demostrado que el gap espectral es uno de esos problemas, lo que significa que no puede existir un método general para determinar si un sistemadescrito mediante la mecánica cuántica tiene o no tiene gap espectral. Esto limita el alcance que pueden tener nuestras predicciones de los materiales cuánticos, e incluso de la física de partículas elementales”, añade el experto.
Un millón de dólares que ganar
El problema más famoso sobre el gap espectral es determinar si la teoría que gobierna las partículas elementales de la materia (el llamado modelo estándar de la física de partículas) tiene un gap espectral. Los experimentos de física de partículas, como los que se desarrollan en el CERN (Laboratorio Europeo de Física de Partículas Elementales), y las simulaciones en supercomputadores, indican que sí existe, en este caso, un gap espectral.
“Nuestro resultado abre la posibilidad de que algunos de los grandes problemas de la física teórica no tengan solución”, añade Toby Cubitt
Sin embargo, todavía no hay una demostración matemática de la cuestión, conocida como la conjetura del salto de masa de Yang-Mills. Quien la encuentre recibirá un millón de dólares de premio del Instituto Clay de Matemáticas, que seleccionó el problema como uno de los siete Problemas del Milenio.
“Hay casos particulares del problema que sí tienen solución, aunque la formulación general sea indecible, por lo que aún es posible que alguien gane el millón de dólares. Pero nuestro resultado abre la posibilidad de que algunos de los grandes problemas de la física teórica no tengan solución”, añade Toby Cubitt.
“Desde los trabajos de Turing y Gödel en la década de 1930 se sabe que, en principio, podían existir problemas indecibles, pero hasta el momento esto solo afectaba a la teoría de la computación y la lógica matemática más abstractas. Nadie había considerado seriamente que estas ideas pudieran afectar al corazón de la física teórica”, afirma Michael Wolf, investigador de la Universidad Técnica de Múnich.
“Desde una perspectiva filosófica, el resultado también cuestiona la visión reduccionista de la realidad, porque la dificultad insalvable del problema radica en pasar de la descripción microscópica a las propiedades macroscópicas”, prosigue.
No todo son malas noticias
“A menudo, propiedades nuevas y exóticas como esta se traducen, antes o después, en avances tecnológicos”, opina David Pérez-García
“No todo son malas noticias”, afirma David Pérez-García. “Nuestros resultados también predicen la existencia de sistemas cuánticos con propiedades no observadas todavía. Por ejemplo, que el añadir una sola partícula a un cúmulo de materia puede, en principio, hacer cambiar radicalmente sus propiedades”.
“La historia de la física nos enseña que, a menudo, propiedades nuevas y exóticas como esta se traducen, antes o después, en avances tecnológicos”, añade el científico.
Ahora, los investigadores quieren ver si sus resultados se pueden extender más allá de los modelos matemáticos artificiales sobre los que han trabajado, a materiales cuánticos más realistas que puedan producirse en el laboratorio.
Referencia bibliográfica:
Toby S. Cubitt, David Pérez-García y Michael M. Wolf. “Undecidability of the spectral gap”. Nature, DOI: 10.1038/nature16059, 9 de diciembre de 2015
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