“Cuando la forma cambia y lo visible desaparece, la matemática comienza a buscar aquello que permanece: la huella de una estructura todavía invisible.”
PREÁMBULO
Toda investigación comienza, tarde o temprano, con una pregunta.
A veces la pregunta nace frente a un fenómeno natural. Otras veces aparece al leer una ecuación que, aunque conocida, parece esconder algo que todavía no hemos comprendido completamente.
En nuestro caso, el camino comenzó observando el comportamiento de una onda.
Después apareció el solitón.
Más tarde, las ecuaciones de Navier–Stokes.
Y finalmente surgió una pregunta que, poco a poco, comenzó a adquirir una dimensión mucho más profunda:
¿Qué estructura matemática permanece cuando la forma observable de un fenómeno dinámico cambia?
Esta pregunta constituye hoy el punto de partida de una nueva etapa de investigación.
No se trata de afirmar que hemos encontrado la solución al Problema del Milenio de Navier–Stokes.
Tampoco de establecer equivalencias que matemáticamente no existen entre la ecuación de Korteweg–de Vries, los solitones y las ecuaciones de Navier–Stokes.
Se trata de algo diferente.
Se trata de investigar.
Y toda investigación seria debe comenzar reconociendo aquello que conocemos, aquello que todavía desconocemos y aquello que estamos dispuestos a explorar.
Cabe señalar que las investigaciones previamente publicadas en la Revista Digital de Divulgación Científica y Tecnológica “Tecnopia.org”, relacionadas con el estudio del solitón y las ecuaciones de Navier–Stokes, han sido desarrolladas bajo la perspectiva de la Metodología de Investigación por Fundamentos, propuesta por el Dr. Francisco Bulnes, matemático mexicano, mentor, amigo y colaborador.
Esta metodología ha constituido un referente fundamental para la organización y desarrollo de nuestro proceso de investigación, particularmente en la articulación entre premisas, fundamentos, formulación matemática, resultados y su posterior interpretación.
I. EL CAMINO QUE NOS TRAJO HASTA AQUÍ
Durante las últimas semanas hemos recorrido un camino que comenzó con una imagen aparentemente sencilla: el movimiento de una gran masa de agua.
A partir de aquella observación surgió el primero de nuestros trabajos, “Del Glaciar al Caos: El Solitón Hidrodinámico y la Danza Oculta de Navier–Stokes”, en el que utilizamos el fenómeno hidrodinámico como punto de partida para acercarnos, desde una perspectiva divulgativa, a las ondas, la no linealidad, la turbulencia y la dinámica de fluidos.
Posteriormente apareció “La anatomía del solitón: el viajero invisible en el torrente de las ecuaciones de Navier–Stokes”.
Ese segundo trabajo nos obligó a realizar una precisión fundamental: el solitón y Navier–Stokes no son la misma cosa.
El solitón no dio origen a Navier–Stokes.
La ecuación Korteweg–de Vries no es una versión de Navier–Stokes.
Y Navier–Stokes no puede reducirse simplemente al comportamiento de una onda solitaria.
Sin embargo, ambos caminos pertenecen a una misma gran aventura intelectual: comprender matemáticamente cómo evolucionan las estructuras dinámicas.
Fue precisamente esa diferencia la que abrió una posibilidad mucho más interesante.
Si dos modelos diferentes pueden describir aspectos diferentes de fenómenos dinámicos relacionados, entonces podemos preguntarnos:
¿Existe una estructura que pueda estudiarse independientemente de la forma particular en que se manifiesta?
II. TRES MIRADAS, UNA ESTRUCTURA
De esa pregunta nació nuestro tercer trabajo: “Tres miradas, una estructura. De la dinámica solitónica a la huella geométrica: KdV, Navier–Stokes, cohomología y sucesiones exactas”.
En él planteamos una perspectiva basada en tres niveles.
La primera mirada corresponde a Korteweg–de Vries y a las estructuras solitónicas.
Aquí observamos una dinámica en la que una estructura coherente puede propagarse manteniendo determinadas características.
La segunda mirada corresponde a Navier–Stokes.
Aquí el escenario cambia radicalmente.
Aparecen la tridimensionalidad, la viscosidad, la presión, la vorticidad, las interacciones entre escalas y una complejidad dinámica mucho mayor.
La tercera mirada es estructural.
Ya no preguntamos únicamente qué forma tiene el fenómeno.
Preguntamos qué ocurre con los objetos matemáticos que lo representan.
Aparecen entonces operadores, núcleos, imágenes, sucesiones exactas, ciclos, cociclos y, como posibilidad de investigación, estructuras cohomológicas.
No afirmamos que estas tres teorías sean equivalentes.
Precisamente lo contrario.
Las mantenemos diferenciadas para estudiar qué puede compararse entre ellas.
La pregunta comienza a desplazarse de la forma hacia la estructura.
Y allí aparece nuestra idea central:
Tal vez una estructura matemática pueda sobrevivir a una transformación de su representación observable.
III. EL ENCUENTRO CON EL DR. FRANCISCO BULNES
En este punto de nuestra investigación aparece un antecedente intelectual que para mí resulta particularmente importante: el trabajo del Dr. Francisco Bulnes.
No porque pretendamos afirmar que el Dr. Bulnes haya planteado o resuelto el problema de Navier–Stokes.
No sería correcto hacerlo.
Su investigación pertenece a otros territorios de la matemática y la física matemática.
Lo que encontramos en sus trabajos es una forma de pensar que resulta sugerente para nuestra propia investigación: la posibilidad de buscar estructuras profundas detrás de las representaciones matemáticas de determinados fenómenos.
Uno de los antecedentes fundamentales es el trabajo realizado por Francisco Bulnes y Ronin Goborov, “Integral Geometry and Complex Space-Time Cohomology in Field Theory”, donde aparecen conceptos relacionados con geometría integral, espacios complejos de espacio-tiempo y cohomología en teoría de campos.
El segundo antecedente es el trabajo de Francisco Bulnes, “Motivic Hypercohomology Solutions in Field Theory and Applications in H-States”, relacionado con hipercohomología motívica y sus aplicaciones dentro de la teoría de campos.
Para nuestra investigación, estos trabajos no constituyen una demostración anticipada.
Son antecedentes conceptuales.
Nos recuerdan que, en determinadas áreas de la matemática contemporánea, una ecuación puede ser solamente la puerta de entrada hacia una estructura mucho más profunda.
Y esa posibilidad coincide con la pregunta que nosotros estamos comenzando a formular.
IV. DE LA ECUACIÓN A LA ESTRUCTURA
Cuando observamos una corriente de agua podemos describir su velocidad.
Podemos medir su energía.
Podemos observar sus remolinos.
Podemos registrar su vorticidad.
Podemos representar su evolución mediante gráficas.
Pero todas esas representaciones pueden cambiar.
Una estructura puede deformarse.
Una onda puede perder su forma.
Un flujo puede pasar de un comportamiento ordenado a otro altamente complejo.
Una perturbación puede crecer.
La información visible puede parecer completamente diferente después de cierto tiempo.
Entonces aparece una pregunta que parece sencilla, pero que puede conducirnos hacia una matemática profunda:
Si la forma cambia, ¿todo cambia?
O existe algo que permanece.
Esta será una de las ideas centrales de nuestra nueva investigación.
V. EL NUEVO PROYECTO: ENTRAR EN EL TERRITORIO DE NAVIER–STOKES
El siguiente paso consiste en estudiar las ecuaciones de Navier–Stokes no solamente como una herramienta para describir el movimiento de un fluido, sino como una estructura matemática cuya evolución puede ser analizada desde diferentes niveles.
En particular, nos interesa acercarnos al famoso problema de existencia y regularidad.
El Problema del Milenio no consiste simplemente en “resolver las ecuaciones de Navier–Stokes”.
La cuestión profunda está relacionada con determinar si, bajo condiciones apropiadas, las soluciones tridimensionales pueden mantenerse suaves para todo tiempo o si puede aparecer una singularidad en tiempo finito.
Este problema representa uno de los grandes desafíos abiertos de la matemática contemporánea.
Y precisamente por eso nuestro planteamiento debe ser prudente.
No partimos diciendo que vamos a resolverlo.
Partimos preguntando: ¿Qué estructura matemática podemos identificar antes, durante y después de los cambios dinámicos que experimenta una solución?
VI. LA ARQUITECTURA DE NUESTRA INVESTIGACIÓN
La investigación comenzará a organizarse alrededor de una arquitectura conceptual que hemos denominado:
C → {A, B} → D
Esta expresión no pretende todavía ser un teorema.
Es una arquitectura de investigación.
Representa una forma de organizar la evolución de un fenómeno dinámico y estudiar qué ocurre cuando una estructura inicial se transforma en diferentes manifestaciones observables.
Nuestro objetivo será definir rigurosamente cada componente.
Después estudiaremos qué relaciones matemáticas existen entre ellos.
Y finalmente buscaremos determinar si aparecen invariantes, correspondencias o estructuras comunes.
Aquí la palabra “huella” adquiere especial importancia.
No hablamos de una huella física.
Hablamos de una posible huella matemática.
Una característica que pudiera permanecer identificable aunque la representación observable del fenómeno haya cambiado.
VII. DE RSTUDIO A LA MATEMÁTICA
Una parte de nuestro proyecto será computacional.
Utilizaremos RStudio para construir simulaciones y representaciones visuales que nos permitan observar la evolución de diferentes sistemas dinámicos.
Pero aquí también debemos establecer una frontera fundamental:
Una simulación no es una demostración.
La computadora puede ayudarnos a descubrir comportamientos.
Puede permitirnos formular conjeturas.
Puede revelar patrones.
Puede sugerir relaciones.
Pero una afirmación matemática deberá finalmente sostenerse mediante argumentos matemáticos.
Por eso la simulación será para nosotros un laboratorio.
No será el sustituto de la demostración.
VIII. DEL FENÓMENO A LA ABSTRACCIÓN
Nuestra investigación seguirá, de manera gradual, un camino que podemos representar así:
Fenómeno observado
↓
Modelo matemático
↓
Evolución dinámica
↓
Representación computacional
↓
Identificación de estructuras
↓
Operadores
↓
Núcleo e imagen
↓
Sucesiones
↓
Posibles invariantes
↓
Estructura subyacente
Este recorrido será necesariamente progresivo.
No pretendemos saltar directamente de una imagen de turbulencia a una afirmación sobre cohomología.
Primero debemos comprender el fenómeno.
Después el modelo.
Después la dinámica.
Después la estructura matemática.
Y solamente entonces podremos determinar si las herramientas de geometría, análisis funcional o topología algebraica realmente aportan algo al problema.
IX. EL PAPEL DEL SOLITÓN
El solitón continuará teniendo un lugar importante dentro de esta investigación.
Pero ya no será nuestro punto final.
Será nuestro punto de partida.
El solitón nos enseñó una idea extraordinaria:
una forma matemática puede desplazarse y conservar determinadas características aunque el medio que la contiene permanezca en movimiento.
Ahora queremos formular una pregunta más profunda:
¿Qué sucede cuando esa coherencia comienza a perderse?
¿Qué sucede cuando aparecen perturbaciones?
¿Qué sucede cuando la dinámica deja de ser fácilmente observable?
¿Qué sucede cuando la estructura cambia de representación?
Y finalmente:
¿Puede permanecer algo identificable detrás de esa transformación?
Esta es la transición que nos lleva del solitón hacia Navier–Stokes.
X. LA GRAN PREGUNTA
Después de recorrer estos caminos, la investigación puede concentrarse en una sola pregunta:
¿Qué estructura matemática permanece cuando la forma observable de un fenómeno dinámico cambia?
Esta pregunta será nuestro eje.
No afirmamos todavía cuál será la respuesta.
Y precisamente por eso vale la pena investigar.
Porque una investigación científica no comienza con la certeza de haber encontrado la respuesta.
Comienza con la valentía intelectual de formular correctamente la pregunta.
XI. HACIA UNA NUEVA ETAPA
A partir de este punto, nuestra propuesta editorial dejará progresivamente el terreno exclusivamente divulgativo para comenzar a incorporar herramientas matemáticas más avanzadas.
Estudiaremos las ecuaciones de Navier–Stokes.
Revisaremos la formulación de Leray y el desarrollo histórico del problema.
Estudiaremos el operador de Stokes.
Nos acercaremos al análisis funcional.
Exploraremos espacios funcionales adecuados para el estudio de las soluciones.
Analizaremos transformadas integrales y herramientas espectrales.
Construiremos simulaciones.
Compararemos diferentes representaciones dinámicas.
Y, finalmente, intentaremos determinar si nuestra arquitectura estructural puede convertirse en una formulación matemática rigurosa.
El proyecto será largo.
Y deberá ser paciente.
Pero precisamente ahí reside su valor.
XII. UNA INVESTIGACIÓN QUE NO QUIERE ADELANTARSE A SUS RESULTADOS
Existe una tentación frecuente cuando se trabaja cerca de un problema famoso: anunciar demasiado pronto una respuesta.
Nosotros queremos hacer lo contrario.
Queremos construir.
Queremos comprobar.
Queremos equivocarnos cuando sea necesario.
Queremos corregir.
Queremos demostrar.
Y solamente después afirmar.
Nuestra investigación no parte de la idea de que Navier–Stokes esté resuelto.
Parte de la convicción de que todavía existen preguntas profundas alrededor de sus estructuras matemáticas y de que vale la pena explorarlas con herramientas provenientes de diferentes áreas.
Si al final descubrimos que nuestra hipótesis inicial era incorrecta, el trabajo habrá cumplido también una función científica.
Porque demostrar que un camino no conduce al resultado esperado también forma parte de la investigación.
XIII. DEL VIAJERO INVISIBLE A LA HUELLA GEOMÉTRICA
El solitón fue nuestro primer viajero.
Una estructura que se desplaza.
Después apareció el fluido.
Un sistema mucho más complejo en el que las estructuras pueden interactuar, deformarse y transformarse.
Ahora queremos buscar aquello que pudiera permanecer cuando la forma ya no sea reconocible.
Quizá sea un invariante.
Quizá una relación entre operadores.
Quizá una estructura funcional.
Quizá una propiedad geométrica.
Quizá una construcción cohomológica.
O quizá descubramos que nuestra intuición inicial debe ser modificada.
Todavía no lo sabemos.
Y esa incertidumbre es precisamente la razón por la que comenzamos esta nueva etapa.
EPÍLOGO
LA PREGUNTA QUE QUEDA CUANDO LA FORMA DESAPARECE
Hemos recorrido un largo camino.
Comenzamos observando agua.
Después encontramos ondas.
Las ondas nos llevaron al solitón.
El solitón nos condujo hacia Korteweg–de Vries.
KdV nos permitió mirar de otra manera las estructuras dinámicas.
Después apareció Navier–Stokes.
Y con Navier–Stokes apareció una de las preguntas más profundas de la matemática contemporánea.
Ahora estamos frente a una nueva frontera.
No sabemos todavía qué encontraremos.
Pero sabemos qué queremos buscar.
Una estructura.
Una relación.
Una huella.
Algo que permanezca cuando la forma visible del fenómeno ya no sea la misma.
Los trabajos del Dr. Francisco Bulnes que han acompañado nuestros primeros pasos nos recuerdan que detrás de determinadas ecuaciones pueden existir estructuras geométricas y topológicas que merecen ser exploradas.
Nuestros trabajos sobre el solitón nos enseñaron que una forma matemática puede viajar y conservar su identidad.
Y nuestra investigación de “Tres miradas, una estructura” nos llevó a formular el puente entre KdV, Navier–Stokes y una posible descripción estructural mediante operadores, cohomología y sucesiones exactas.
Ahora comienza una nueva etapa.
Ya no queremos solamente observar al viajero.
Queremos descubrir qué queda en el camino cuando el viajero cambia de forma.
Porque quizá la pregunta más profunda no sea: ¿Dónde está la estructura?
Sino: ¿Qué parte de ella permanece cuando ya no podemos verla?
Y esa será, a partir de ahora, nuestra pregunta. “Cuando una forma desaparece, la ciencia no debe apresurarse a concluir que la estructura ha desaparecido; quizá simplemente ha dejado de hablar el lenguaje que nuestros ojos saben reconocer.”
“Si toda estructura dinámica nace de una condición inicial y, al transformarse, conserva la posibilidad de revelar un orden subyacente, entonces la verdadera aventura de la matemática no consiste únicamente en observar cómo cambia la forma, sino en descubrir qué permanece cuando aquello que vemos deja de ser reconocible.”
Premisa verdadera de la investigación personal del Dr. J Jesús Francisco Carpio Mendoza
