“A veces, para descubrir la profundidad de las matemáticas, basta con observar una pequeña burbuja: lo que nuestros ojos ven es apenas la superficie de aquello que las ecuaciones intentan revelar.”
PREÁMBULO
Una burbuja que nos invita a mirar las matemáticas
Hace unos días recibí, en imágenes, una maravillosa investigación titulada “Modelo viscoelastodinámico de una burbuja, moviéndose, en un fluido no newtoniano”, desarrollada por el Dr. Francisco Bulnes y el Dr. Alejandro R. Tello Campos.
Al recorrer sus páginas, descubrí que, entre ecuaciones, conceptos y desarrollos matemáticos, se encuentra algo que llamó particularmente mi atención: un teorema acompañado de cuatro lemas, verdaderas piezas de una estructura matemática que merecen ser conocidas, comprendidas y, sobre todo, disfrutadas.
Pero entonces surgió una pregunta: ¿cómo acercar estas ideas a un lector que no necesariamente está familiarizado con la matemática de los fluidos no newtonianos, la viscoelasticidad o las ecuaciones que describen el movimiento de una burbuja?
La respuesta apareció de una manera bastante sencilla.
Una burbuja de jabón.
Sí, una burbuja de jabón. Y, para acompañarla en este pequeño viaje hacia las matemáticas, un elemento cotidiano que todos podemos reconocer: gel para cabello.
Un material transparente y viscoso que nos permitirá construir un experimento sencillo, visual y educativo, con el propósito de encontrar una manera diferente de aproximarnos a los conceptos que aparecen en la investigación.
La intención no es sustituir las matemáticas por una analogía, ni mucho menos pretender que un experimento doméstico demuestre por sí mismo un teorema o un lema.
La intención es otra: poner frente a nuestros ojos una representación sencilla que nos ayude a formular preguntas sobre aquello que las ecuaciones describen.
Por ello, en las páginas siguientes tendremos dos formas de acercarnos al mismo fenómeno.
Por una parte, estará la explicación matemática, donde el Dr. Francisco Bulnes nos ayudará a comprender qué significan el teorema y sus cuatro lemas.
Por otra, estará la experiencia: una burbuja de jabón, un medio viscoso y una serie de preguntas que intentarán traducir conceptos matemáticos complejos a un lenguaje claro, sencillo y comprensible.
Quizá lo más interesante de este ejercicio sea que la burbuja nos permitirá observar algo que parece muy simple: una forma que cambia, un movimiento que aparece, una superficie que se deforma.
Sin embargo, detrás de aquello que nuestros ojos alcanzan a percibir existen relaciones entre fuerzas, presiones, tensiones, deformaciones, viscosidad, elasticidad y tiempo.
Y es precisamente ahí donde comienza nuestro viaje.
No vamos a intentar convertir una burbuja de jabón en una demostración matemática.
Vamos a utilizarla como una pequeña ventana hacia un mundo que normalmente permanece oculto detrás de las ecuaciones.
Espero que este experimento sea de su agrado y que, al observarlo, podamos descubrir un poco más de lo que se encuentra detrás de este teorema y sus cuatro lemas.
Porque algunas veces las matemáticas nos sorprenden no por lo complicado de sus fórmulas, sino por la capacidad que tienen para mostrarnos que, detrás de algo tan sencillo como una burbuja, puede existir una estructura extraordinariamente profunda.
Los invito a mirar con nosotros.
Vale la pena asombrarse.
Muchas gracias.
Una conversación entre la matemática y el experimento
Dr. J Jesús Francisco Carpio Mendoza:
Mi estimado Dr. Dr. Bulnes, quiero proponerle algo un poco diferente.
Dr. Francisco Bulnes:
¿Diferente en qué sentido, Dr. Carpio?
Dr. Carpio:
Esta vez quiero que las matemáticas salgan de las páginas de una investigación y se encuentren con algo que todos podamos observar.
Dr. Bulnes:
Eso suena interesante. ¿Qué tienes en mente?
Dr. Carpio:
Una burbuja de jabón.
Dr. Bulnes:
¿Una burbuja de jabón?
Dr. Carpio:
Sí, doctor. Una burbuja de jabón y un recipiente con gel para cabello. Un gel transparente, viscoso, de esos que encontramos prácticamente en cualquier lugar.
Dr. Bulnes:
¿Y qué pretendes demostrar con ello?
Dr. Carpio:
Precisamente ahí está la cuestión. No pretendo que la burbuja demuestre matemáticamente un teorema. Quiero utilizarla como una herramienta educativa para que una persona que nunca haya estudiado mecánica de fluidos pueda comenzar a imaginar lo que ocurre detrás de las ecuaciones.
Dr. Bulnes:
Entonces estamos hablando de una analogía experimental.
Dr. Carpio:
Exactamente.
Quiero que usted explique la matemática y que yo haga el experimento. Pero también quiero hacer las preguntas que probablemente haría cualquier lector.
Dr. Bulnes:
Me parece una buena manera de acercar una investigación matemática al público.
Dr. Carpio:
Y hay algo más.
Este experimento lo he formulado gracias a la Metodología de Investigación por Fundamentos que usted ha formulado y me ha enseñado a aplicar en mis propias investigaciones matemáticas.
Dr. Bulnes:
Entonces has partido de un fundamento.
Dr. Carpio:
Así es.
He intentado no comenzar por la burbuja, sino por una pregunta y una premisa.
La premisa
Dr. Carpio:
Mi premisa de trabajo es la siguiente:
“Una burbuja que se mueve dentro de un fluido no newtoniano no puede comprenderse únicamente a partir de su movimiento visible. Su desplazamiento está acompañado por deformaciones, diferencias de presión y tensiones que surgen de la interacción entre las propiedades de la burbuja y las características del fluido que la rodea.”
Dr. Bulnes:
Es una manera interesante de establecer el punto de partida.
Dr. Carpio:
Porque si solamente observamos la burbuja, veremos que se mueve.
Pero no veremos directamente las presiones.
No veremos las tensiones.
No veremos los campos matemáticos.
No veremos las relaciones que están ocurriendo en el interior del fenómeno.
Dr. Bulnes:
Y ahí es donde comienza la función de las matemáticas.
Dr. Carpio:
Exactamente.
Lo visible nos despierta la curiosidad.
La matemática intenta explicar aquello que no podemos observar directamente.
El axioma de trabajo
Dr. Carpio:
A partir de esa premisa he planteado lo que, para nuestro ejercicio divulgativo, llamaré un axioma de trabajo:
“El movimiento de una burbuja dentro de un fluido no newtoniano puede ser descrito matemáticamente mediante la interacción entre el campo de movimiento, las fuerzas y presiones que actúan sobre la burbuja, las tensiones que se desarrollan durante su desplazamiento y el comportamiento viscoelástico del sistema.”
Dr. Bulnes:
Aquí debemos ser cuidadosos con el lenguaje matemático.
Un axioma, en sentido estricto, es un punto de partida que se acepta dentro de un sistema; no es algo que posteriormente se demuestre como un teorema.
Dr. Carpio:
Tiene razón.
Entonces digamos que es nuestro axioma de trabajo, el fundamento desde el cual organizaremos la explicación.
Dr. Bulnes:
Eso resulta mucho más preciso.
Dr. Carpio:
Y nuestra intención será recorrer los lemas y el teorema para comprender cómo se relacionan con ese fundamento.
La pregunta detonadora
Dr. Carpio:
Pero antes de tocar la burbuja, quiero hacer una pregunta.
Dr. Bulnes:
Adelante.
Dr. Carpio:
¿Podemos observar un movimiento sin ver directamente la estructura matemática que lo acompaña?
Dr. Bulnes:
Esa es una buena pregunta.
Dr. Carpio:
Y quiero que el lector conserve esa pregunta durante todo el experimento.
Porque quizá cuando vea una burbuja deformarse solamente piense:
“La burbuja se está aplastando.”
Pero nosotros queremos preguntarnos:
“¿Qué está ocurriendo matemáticamente mientras la burbuja se deforma?”
Dr. Bulnes:
Entonces comencemos.
La preparación del experimento
Dr. Carpio:
He colocado sobre la mesa un recipiente transparente.
Dentro tenemos nuestro gel para cabello.
Es transparente.
Es viscoso.
Y permite que podamos observar lo que sucede.
Ahora voy a formar una pequeña burbuja de jabón.
Mírela, doctor.
Es prácticamente perfecta.
Una superficie delicada, brillante, cambiante.
Dr. Bulnes:
Y precisamente esa aparente sencillez puede ser engañosa.
Dr. Carpio:
Porque parece que no está ocurriendo nada.
Dr. Bulnes:
Cuando en realidad ya tenemos un sistema físico.
Dr. Carpio:
Voy a colocar ahora la burbuja en contacto con el gel.
Despacio.
Sin apresurarnos.
Quiero que el lector imagine la escena.
La pequeña burbuja transparente se encuentra frente a un medio también transparente.
Por momentos cuesta distinguir dónde termina uno y comienza el otro.
Dr. Bulnes:
Y ahora tenemos una pregunta fundamental.
¿Qué sucede cuando una estructura que puede deformarse interactúa con un medio que ofrece resistencia al movimiento?
Dr. Carpio:
Y ahí aparece nuestro primer lema.
Lema III.0 La elasticidad encuentra a la viscosidad
Dr. Carpio:
Doctor, ¿qué nos dice el Lema III.0?
Dr. Bulnes:
El lema aborda la naturaleza viscoelástica del modelo. En él aparecen dos comportamientos que debemos considerar conjuntamente: la componente elástica y la componente viscosa.
Dr. Carpio:
Entonces voy a traducirlo.
La burbuja puede deformarse.
El gel se resiste al movimiento.
Tenemos entonces dos comportamientos diferentes que interactúan.
Dr. Bulnes:
Esa es una manera sencilla de aproximarse al concepto.
Dr. Carpio:
Entonces podríamos imaginarlo así:
La burbuja dice: “Quiero conservar mi forma.”
Y el gel responde: “Yo dificulto tu movimiento.”
Dr. Bulnes:
Como recurso narrativo, funciona.
Pero recuerda: estamos haciendo una analogía. La formulación matemática es mucho más precisa.
Dr. Carpio:
Por supuesto.
La analogía nos permite imaginar.
La matemática nos permite formular.
Dr. Bulnes:
Exactamente.
Lema III.1 ¿Por qué se mueve la burbuja?
Dr. Carpio:
Ahora voy a provocar un pequeño desplazamiento.
Observe cómo la burbuja intenta cambiar de posición.
Doctor, aquí aparece una pregunta que parece muy sencilla: ¿Por qué se mueve?
Dr. Bulnes:
Porque sobre ella actúan fuerzas. En el modelo, la diferencia entre las presiones hidráulicas interviene en la determinación de la fuerza de ascenso.
Dr. Carpio:
Entonces tenemos:
Dr. Bulnes:
Esa cadena expresa de manera sencilla la idea física.
Dr. Carpio:
Entonces no podemos decir simplemente: “La burbuja sube porque es una burbuja.”
Tenemos que preguntar: “¿Qué fuerzas están actuando sobre ella?”
Dr. Bulnes:
Y esa pregunta es justamente la que conduce hacia la formulación matemática.
Dr. Carpio:
Me gusta.
Porque una pregunta cotidiana acaba de convertirse en una pregunta matemática.
Lema III.2 El movimiento deja una huella
Dr. Carpio:
Ahora viene una parte que me interesa muchísimo.
Observe la burbuja.
Se mueve.
Se deforma.
El gel cambia alrededor de ella.
Pero hay algo que nuestros ojos no pueden mostrar directamente.
Dr. Bulnes:
Las tensiones.
Dr. Carpio:
Exactamente.
Puedo observar el efecto.
Pero no puedo observar directamente todas las tensiones que están produciéndose.
Dr. Bulnes:
El Lema III.2 establece precisamente una relación entre el movimiento y la evolución de las tensiones.
Dr. Carpio:
Entonces ocurre algo extraordinario.
La burbuja deja una especie de huella.
No necesariamente una huella que podamos tocar con la mano.
Es una huella dinámica.
Dr. Bulnes:
Una forma de expresarlo sería decir que el movimiento está acompañado por una respuesta del medio.
Dr. Carpio:
Y aquí aparece nuevamente nuestra pregunta: ¿Podemos observar un movimiento sin ver directamente la estructura matemática que lo acompaña?
La respuesta comienza a ser evidente.
Podemos observar el movimiento, pero necesitamos las matemáticas para representar aquello que no podemos ver directamente.
Lema III.3 Cuando la materia responde
Dr. Carpio:
Llegamos ahora al Lema III.3.
Doctor, aquí aparece nuevamente la palabra que quizá resulte extraña para algunos lectores: viscoelasticidad.
Dr. Bulnes:
El modelo considera conjuntamente una respuesta elástica y una respuesta viscosa.
Esto permite describir el comportamiento del sistema mediante una relación constitutiva.
Dr. Carpio:
Voy a buscar una imagen cotidiana.
Cuando estiramos una liga, queremos que vuelva a su forma.
Cuando intentamos mover algo dentro de un medio espeso, encontramos resistencia.
Entonces tenemos dos comportamientos.
Uno relacionado con la deformación y recuperación.
Otro relacionado con la resistencia al movimiento.
Dr. Bulnes:
Y el modelo matemático establece cómo se relacionan esos comportamientos.
Dr. Carpio:
Entonces la palabra “viscoelástico” deja de ser solamente una palabra complicada.
Ahora podemos imaginarla.
Dr. Bulnes:
Ese es precisamente el propósito de una buena analogía.
Una pausa frente a la burbuja
Dr. Carpio:
Doctor, hagamos una pausa.
Tenemos una burbuja.
Tenemos gel.
Tenemos movimiento.
Tenemos deformación.
Tenemos presión.
Tenemos tensión.
Tenemos viscosidad.
Tenemos elasticidad.
Y tenemos tiempo.
Dr. Bulnes:
Y todos esos elementos están relacionados.
Dr. Carpio:
Entonces los cuatro lemas parecen piezas de un mecanismo.
Dr. Bulnes:
Esa es una buena manera de visualizar su función dentro de nuestra explicación.
Dr. Carpio:
Uno nos ayuda a comprender la naturaleza viscoelástica.
Otro nos lleva hacia la fuerza de ascenso.
Otro relaciona movimiento y tensiones.
Y otro aborda el comportamiento constitutivo.
Dr. Bulnes:
Y entonces podemos pasar al teorema.
Teorema IV.0 Cuando todas las piezas comienzan a trabajar juntas
Dr. Carpio:
Llegamos al Teorema IV.0.
Aquí quiero pedirle al lector que vuelva a mirar la burbuja.
Hasta este momento hemos separado las piezas.
Ahora vamos a juntarlas.
Dr. Bulnes:
El teorema considera el movimiento de una burbuja dentro de un fluido no newtoniano y desarrolla matemáticamente las relaciones que describen ese comportamiento.
Dr. Carpio:
Entonces aquí ocurre algo importante.
La burbuja no sabe que estamos estudiando cuatro lemas.
Dr. Bulnes:
Naturalmente que no.
Dr. Carpio:
Para ella todo ocurre al mismo tiempo.
La presión actúa.
La fuerza aparece.
La burbuja se desplaza.
La superficie se deforma.
El fluido responde.
Aparecen tensiones.
La viscosidad interviene.
La elasticidad interviene.
Y todo evoluciona con el tiempo.
Dr. Bulnes:
Precisamente por eso necesitamos una formulación que reúna esos elementos.
Dr. Carpio:
Entonces podríamos decir que los lemas nos permiten comprender las piezas, mientras que el teorema nos permite contemplar la estructura que las relaciona.
Dr. Bulnes:
Como interpretación pedagógica, sí.
Volvemos al experimento
Dr. Carpio:
Voy a dejar ahora la burbuja unos instantes.
No voy a tocarla.
Simplemente observemos.
El gel permanece transparente.
La burbuja cambia lentamente.
Hay partes que parecen resistirse.
Otras se deforman.
La superficie refleja la luz.
Y, sin embargo, detrás de esa imagen tan sencilla hay una enorme cantidad de información.
Dr. Bulnes:
Información que puede expresarse mediante variables, funciones, tensores y ecuaciones.
Dr. Carpio:
Y eso es lo que me maravilla.
El experimento es pequeño.
La matemática que intenta explicar el fenómeno no lo es.
La pregunta vuelve a aparecer
Dr. Carpio:
Doctor Dr. Bulnes, volvamos a nuestra pregunta detonadora.
¿Podemos observar un movimiento sin ver directamente la estructura matemática que lo acompaña?
Dr. Bulnes:
Podemos observar el movimiento.
Pero la estructura matemática que lo describe requiere de un proceso de abstracción, formulación y análisis.
Dr. Carpio:
Entonces quizá eso sea lo que estamos intentando hacer hoy.
No convertir las matemáticas en algo sencillo.
Sino encontrar una puerta para entrar en ellas.
Dr. Bulnes:
Exactamente.
Dr. Carpio:
Una puerta con forma de burbuja.
Una última mirada
Dr. Carpio:
Miro nuevamente nuestra pequeña burbuja.
Antes de comenzar el experimento solamente veía una esfera de jabón.
Ahora veo algo diferente.
Veo una forma que puede deformarse.
Veo un medio que ofrece resistencia.
Veo un movimiento.
Veo una interacción.
Pero también sé que hay algo que no puedo observar directamente.
Dr. Bulnes:
Las relaciones matemáticas.
Dr. Carpio:
Entonces quizá la enseñanza más importante de este experimento no sea aprender una nueva palabra como “viscoelasticidad”.
Quizá sea aprender a mirar de otra manera.
Porque cuando observamos un fenómeno, vemos solamente una parte de él.
La matemática intenta llevarnos un poco más allá de lo que nuestros ojos pueden alcanzar.
Dr. Bulnes:
Y allí comienza verdaderamente la investigación.
Dr. Carpio:
Entonces, mi estimado doctor, creo que nuestra burbuja ya nos hizo una primera demostración.
Dr. Bulnes:
¿Matemática?
Dr. Carpio:
No.
De curiosidad.
Porque ahora queremos saber qué hay detrás de ella.
Dr. Bulnes:
Entonces continuemos.
Dr. Carpio:
Continuemos.
Pero esta vez con las ecuaciones.
Porque ya tenemos la pregunta.
Ya tenemos la premisa.
Ya tenemos nuestro axioma de trabajo.
Tenemos los cuatro lemas.
Tenemos el teorema.
Y tenemos una burbuja esperando que intentemos comprenderla.
Dr. Bulnes:
Y quizá, al final, descubramos que la burbuja no era el verdadero objeto de nuestro estudio.
Dr. Carpio:
¿Entonces qué era?
Dr. Bulnes:
La estructura que se escondía detrás de su movimiento.
Dr. Carpio:
Ahora sí tenemos un experimento que vale la pena realizar.
“Quizá la verdadera lección de esta burbuja no sea comprender por qué se deforma o por qué se mueve, sino aprender a preguntarnos qué otras estructuras invisibles están presentes en los fenómenos cotidianos que creemos comprender simplemente porque podemos verlos.”
