¿Qué puede contarnos una pequeña burbuja sobre las fuerzas invisibles que la rodean, cuando dejamos de mirarla solamente como un objeto cotidiano y comenzamos a observarla como una pregunta matemática?

PREÁMBULO

Con este artículo llegamos al cierre de un cuento que, poco a poco, terminó convirtiéndose también en una pregunta de investigación.

En las páginas anteriores sometimos, de manera imaginaria, una pequeña burbuja a un medio no newtoniano, un gel viscoso, y observamos qué podía ocurrir cuando ese pequeño objeto intentaba desplazarse, deformarse y encontrar su camino dentro de un medio que no se comporta como un líquido convencional.

Pero hoy damos un paso diferente.

La imaginación deja por un momento el lugar central y entra en escena la simulación computacional matemática.

A través de RStudio, construimos una representación tridimensional de las relaciones que hemos venido explorando y, por primera vez, podemos detenernos frente a cada gráfica para preguntarnos qué nos está mostrando, qué variables intervienen y, sobre todo, qué significado puede tener aquello que aparece ante nuestros ojos.

Cada gráfica es, en cierto sentido, una pequeña ventana hacia el fenómeno.

No pretende demostrar por sí misma un teorema ni sustituir el análisis matemático.

Su propósito es otro: experimentar, visualizar, comparar y formular nuevas preguntas.

Porque, en ocasiones, una simulación no termina una investigación; simplemente nos señala el lugar donde comienza la siguiente pregunta.

Y aquí es donde este artículo adquiere un nuevo significado.

En un segundo trabajo, que se encuentra prácticamente terminado, llevaremos nuevamente a nuestra pequeña burbuja a otro escenario matemático.

Allí la someteremos, desde una perspectiva exploratoria, a la mirada de las ecuaciones de Navier–Stokes, a la ecuación KdV y a los lemas y teoremas desarrollados en el trabajo del Dr. Francisco Bulnes.

Será, entonces, una segunda mirada sobre el mismo fenómeno.

Primero observamos la burbuja.

Después intentamos comprender sus huellas.

Ahora comenzamos a preguntarnos qué estructura matemática puede encontrarse detrás de ellas.

Esta doble visión deja abiertas algunas preguntas que, lejos de ser un inconveniente, representan quizá la parte más interesante de nuestro recorrido.

Hay cuestiones que todavía no tienen respuesta, relaciones que merecen ser estudiadas con mayor profundidad y, posiblemente, nuevas líneas de investigación por las cuales vale la pena caminar.

Tal vez esa sea una de las características más fascinantes de la ciencia: cuando creemos haber llegado al final de un camino, descubrimos que solamente hemos encontrado una nueva puerta.

Espero sinceramente que este artículo sea de su agrado y que las simulaciones, las gráficas y las preguntas que aparecen en ellas despierten en el lector la misma curiosidad que las originó.

Muchas gracias por acompañarme nuevamente en esta aventura de explorar las matemáticas desde una perspectiva diferente.

Gracias por leerme.

Muy agradecido, como siempre.

Introducción: cuando una burbuja se convierte en pregunta

Una burbuja parece un objeto sencillo. Flota, asciende, cambia de forma, se deforma y, finalmente, desaparece. Sin embargo, detrás de esa apariencia cotidiana existe una conversación permanente entre el objeto y el medio que lo rodea.

El líquido ejerce fuerzas; la superficie responde; la forma cambia; el movimiento modifica la interacción. Lo que vemos es solamente la parte visible de una historia mucho más amplia.

El propósito de esta exploración es acercar esa historia a un lector que no necesita ser matemático, físico o especialista.

Para ello se utilizaron las formulaciones asociadas con los lemas III.0, III.1, III.2 y III.3, así como el Teorema IV.0, y se construyeron representaciones tridimensionales mediante RStudio.

Las gráficas no pretenden sustituir una demostración matemática: funcionan como una ventana visual para observar cómo las relaciones del modelo pueden comportarse bajo determinados supuestos y parámetros.

La pregunta central cambia entonces de forma: ya no se trata solamente de preguntar qué hace una burbuja, sino de preguntar qué estructura invisible puede inferirse cuando observamos sus fuerzas, su superficie, su deformación y su interacción global con el medio.

1. Lema III.0: entre lo elástico y lo viscoelástico

El primer planteamiento puede entenderse como una puerta de entrada al problema.

Una superficie sometida a una acción externa puede presentar una respuesta asociada con la elasticidad, pero también puede incorporar un comportamiento dependiente del tiempo.

En un medio viscoelástico, la materia no responde únicamente a cuánto se deforma, sino también a cómo y durante cuánto tiempo se produce esa deformación.

La primera gráfica representa esta idea mediante una superficie esférica cuya magnitud cambia espacialmente.

El objetivo no es afirmar que esa superficie sea una solución única del problema físico, sino visualizar la combinación conceptual entre una geometría inicial y una respuesta que puede variar sobre ella.

Figura 1. Representación tridimensional del Lema III.0. La superficie simboliza la interacción entre una configuración elástica y una respuesta viscoelástica distribuida sobre la burbuja.

La variación cromática representa magnitud relativa del campo modelado, no una medición experimental.

2. Lema III.1: la fuerza que hace ascender a la burbuja

En una primera aproximación, el movimiento vertical de la burbuja puede relacionarse con dos efectos de signo contrario: una contribución asociada con el medio gravitacional y otra asociada con la resistencia al movimiento.

En la simulación se empleó la expresión exploratoria: Fz = -4πRv + (4/3)πR^3ρg

Aquí, R representa el radio de la burbuja, v su velocidad, ρ la densidad del medio y g la aceleración gravitacional.

La gráfica convierte esta relación en una superficie tridimensional. De esta manera, el lector puede observar que modificar el tamaño de la burbuja o su velocidad modifica el valor de la fuerza vertical resultante.

Figura 2. Representación tridimensional del Lema III.1. La superficie muestra la variación exploratoria de la fuerza vertical Fz en función del radio R y de la velocidad v.

Las zonas de diferente magnitud permiten identificar regiones donde la contribución resultante cambia.

La utilidad de esta imagen es principalmente intuitiva. Una burbuja grande no se comporta necesariamente como una pequeña ampliada; el radio aparece en términos de distinta potencia y, por ello, el cambio geométrico puede alterar significativamente la relación entre las contribuciones del modelo.

3. Lema III.2: una superficie que no responde de manera uniforme

La superficie de una burbuja tampoco tiene por qué experimentar exactamente la misma tensión en todos sus puntos.

Para visualizar esta posibilidad se utilizó un campo axisimétrico de la forma: σ(θ) = σ0 + A cos(θ)

La variable θ permite recorrer la superficie desde una región polar hacia la opuesta. σ0 representa un nivel de referencia y A controla la amplitud de la variación.

La gráfica traduce esta relación en una superficie coloreada, de modo que las diferencias de color representan cambios relativos de la tensión superficial.

Figura 3. Representación tridimensional del Lema III.2. La distribución cromática ilustra una tensión superficial que varía con la posición angular θ.

La figura permite visualizar que la frontera entre la burbuja y el líquido puede participar activamente en la dinámica.

Esta imagen introduce una idea importante para el lector no especializado: la superficie de un objeto no es solamente una frontera geométrica. También puede ser el lugar donde se manifiestan las interacciones con el medio.

En otras palabras, la forma visible de la burbuja puede contener información acerca de fuerzas que no podemos observar directamente.

4. Lema III.3: la memoria del material

El tercer escenario nos acerca a una de las características más interesantes de los materiales viscoelásticos: su respuesta puede depender de la historia de deformación.

En una formulación lineal simplificada se utilizó: σ = Mε + N dε/dt

La primera parte relaciona la tensión con la deformación; la segunda incorpora la rapidez con que esa deformación cambia.

Para la exploración se consideró una deformación angular que disminuye con el tiempo, mediante una expresión del tipo ε(θ,t) = ε0 cos(θ) exp(-λt).

Figura 4. Representación tridimensional del Lema III.3. La superficie deformada ilustra una respuesta viscoelástica dependiente de la posición y del tiempo.

La disminución progresiva del campo representa, de manera cualitativa, la relajación del material.

La palabra ‘memoria’ debe entenderse aquí como una manera intuitiva de hablar de la dependencia temporal del material. No significa que el líquido recuerde como lo hace una persona; significa que su estado actual puede estar relacionado con la manera en que fue deformado anteriormente.

La computación permite convertir esa idea abstracta en una superficie que cambia y, por tanto, puede ser observada.

5. Teorema IV.0: de muchas pequeñas fuerzas a una descripción global

Después de observar fuerzas y respuestas locales, aparece una pregunta natural: ¿cómo reunimos todas esas pequeñas contribuciones para describir el efecto global sobre la burbuja?

El Teorema IV.0 se aborda computacionalmente mediante un campo de tracción distribuido sobre la superficie y una integración numérica de esas contribuciones.

Figura 5. Representación tridimensional del Teorema IV.0.

Las flechas simbolizan el campo de tracción distribuido sobre la superficie.

La integración numérica reúne las contribuciones locales para obtener una descripción global de la fuerza resultante.

La imagen puede leerse como un mapa de pequeñas interacciones. Cada flecha representa una contribución local; la suma de todas ellas permite construir una magnitud global.

En términos sencillos, el teorema conecta lo que ocurre en cada pequeño fragmento de la superficie con el comportamiento conjunto de la burbuja.

La idea es especialmente relevante porque muchos fenómenos físicos se comprenden precisamente de esta manera: un efecto global no aparece necesariamente como una sola acción concentrada, sino como el resultado acumulado de innumerables interacciones locales.

6. ¿La gráfica demuestra el lema o el teorema?

No. Esta distinción es fundamental. Una visualización computacional puede mostrar que una formulación produce un comportamiento determinado bajo los parámetros seleccionados, pero eso no equivale a demostrar matemáticamente que la formulación sea verdadera en toda su generalidad.

Las cinco gráficas deben entenderse como herramientas de exploración. Permiten detectar patrones, observar simetrías, identificar comportamientos inesperados, comparar parámetros y formular nuevas preguntas.

Una demostración matemática requiere argumentos formales, hipótesis claramente establecidas y una cadena lógica que sea válida independientemente de una imagen concreta.

Por ello, la computadora no sustituye a la matemática. La complementa.

La simulación ayuda a mirar; la demostración establece.

7. Metodología computacional en RStudio

La exploración se realizó mediante un script desarrollado para RStudio, utilizando R como entorno de cálculo y visualización tridimensional.

El procedimiento general consistió en construir una malla esférica, evaluar las expresiones de cada lema sobre dicha malla y convertir los resultados en superficies tridimensionales.

Para la representación geométrica se emplearon coordenadas esféricas. Si θ y φ representan los ángulos de la malla, se construyeron las coordenadas cartesianas mediante relaciones del tipo x = R sin(θ) cos(φ), y = R sin(θ) sin(φ) y z = R cos(θ).

Sobre esta geometría se evaluaron los campos correspondientes a cada caso.

En el Lema III.0 se generó una representación conceptual de la distribución de magnitud sobre la superficie.

En el Lema III.1 se evaluó la fuerza vertical en función del radio y la velocidad.

En el Lema III.2 se calculó la distribución angular de la tensión superficial.

En el Lema III.3 se incorporó la dependencia temporal mediante una función de relajación.

Finalmente, para el Teorema IV.0 se construyó un campo de vectores de tracción y se realizó una integración numérica aproximada sobre la superficie.

La visualización tridimensional se apoyó en las herramientas de R destinadas a gráficos interactivos, particularmente plotly y htmlwidgets.

El código de R Studio, define primero la malla geométrica y posteriormente ejecuta cada bloque de cálculo, evitando referencias a objetos antes de su creación.

También se evita duplicar el meridiano correspondiente a φ = 0 y φ = 2π durante la integración superficial.

Los archivos HTML generados permiten examinar las superficies desde diferentes ángulos, mientras que las imágenes estáticas utilizadas en este artículo constituyen una síntesis visual de cada resultado.

Los parámetros empleados son de carácter exploratorio y pueden modificarse para estudiar otros escenarios.

Desde el punto de vista metodológico, el flujo de trabajo puede resumirse así: formulación matemática → discretización computacional → evaluación numérica → visualización tridimensional → interpretación → formulación de nuevas preguntas.

8. Epílogo: cuando mirar también es investigar

Una burbuja puede parecer frágil, efímera y sencilla.

Sin embargo, cuando la observamos con una pregunta matemática, se convierte en una especie de laboratorio diminuto.

En su superficie aparecen fuerzas; en su movimiento aparecen diferencias; en su deformación aparece el tiempo; y en la suma de esas pequeñas interacciones aparece una descripción global.

Las cinco gráficas construyen, así, una pequeña narrativa: primero la estructura, después la fuerza, luego la superficie, más tarde la respuesta temporal y finalmente la integración de todas esas interacciones.

No se trata solamente de dibujar una burbuja. Se trata de hacer visible una parte de aquello que normalmente permanece oculto.

Quizá esa sea una de las mayores posibilidades de la computación científica: no convertir las matemáticas en una imagen, sino permitir que una imagen nos conduzca nuevamente hacia las matemáticas.