. “La esencia de las matemáticas reside en su libertad.” George Cantor
El “teorema de la diagonal de Cantor” es un resultado fundamental en la teoría de conjuntos y la teoría de la infinitud, desarrollado por el matemático alemán Georg Cantor. Este teorema se utiliza para demostrar que existen conjuntos infinitos que no pueden ser emparejados uno a uno con los números naturales, lo que implica la existencia de infinitos de diferentes tamaños o “cardinalidades”. A continuación, se presenta una explicación del teorema:
Enunciado del Teorema de la Diagonal de Cantor:
Dado un conjunto infinito A que contiene una lista infinita de números reales decimales entre 0 y 1 (por ejemplo, 0.12345…, 0.98765…, etc.), es posible construir un número real decimal entre 0 y 1 que no esté en la lista.
Explicación:
Para comprender el teorema de la diagonal de Cantor, primero se construye una lista infinita de números reales decimales entre 0 y 1. Luego, se crea un nuevo número real decimal de la siguiente manera:
- Se considera la lista infinita de números reales decimales. Por ejemplo: 0.12345…
0.98765…
0.54321…
0.67890…
… - A continuación, se elige un dígito en cada número de la lista, comenzando por el primer número. En este ejemplo, tomaremos el primer dígito de cada número: 0.12345… => 0
0.98765… => 9
0.54321… => 5
0.67890… => 6
… - Ahora, se crea un nuevo número real decimal tomando estos dígitos y agregando 1 a cada dígito (mod 10). En este caso: Nuevo número = 0.9567…
- El nuevo número generado, en este caso 0.9567…, no está en la lista original de números reales decimales. Esto demuestra que la lista original no puede incluir todos los números entre 0 y 1.
El teorema de la diagonal de Cantor establece que, sin importar cuán larga sea la lista de números reales decimales que se tome de un conjunto infinito, siempre se puede construir un número que no esté en la lista utilizando este proceso.
Este resultado revela que el conjunto de números reales entre 0 y 1 es “incontable”, es decir, su cardinalidad es mayor que la de los números naturales. Este concepto es fundamental en la teoría de conjuntos y la matemática de la infinitud.
La teoría de los números transfinitos, desarrollada por Georg Cantor, es una parte fundamental de su trabajo en la teoría de conjuntos y la matemática de la infinitud.
Esta teoría se centra en el estudio y la clasificación de los números infinitos, que son números que representan la cantidad de elementos en conjuntos infinitos. Cantor introdujo dos tipos principales de números transfinitos: los números cardinales y los números ordinales.
Números Cardinales:
Los números cardinales se utilizan para describir la “cantidad” o cardinalidad de un conjunto, es decir, cuántos elementos contiene. El símbolo utilizado para denotar los números cardinales es ℵ (aleph, seguido de un subíndice que indica su orden).
- Aleph-null (ℵ₀): Representa la cardinalidad de los números naturales (1, 2, 3, …). Es el primer número cardinal transfinito y se usa para describir conjuntos infinitos contables, como el conjunto de los números naturales o el conjunto de los números enteros.
- Aleph-uno (ℵ₁): Representa la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos de los números naturales, es decir, el conjunto de partes de los números naturales. ℵ₁ es mayor que ℵ₀ y se utiliza para describir conjuntos infinitos no contables.
- Cantidades mayores: Cantor demostró que hay números cardinales transfinitos de mayor orden, y que la jerarquía de alephs es infinita. Estos números representan tamaños cada vez más grandes de conjuntos infinitos.
Números Ordinales:
Los números ordinales se utilizan para describir el orden o la secuencia en la que los elementos de un conjunto infinito están dispuestos. Cantor introdujo una notación especial para los números ordinales, utilizando letras griegas y símbolos.
- Ω (omega): Representa el primer número ordinal transfinito, que es el orden de los números naturales (1, 2, 3, …).
- Ω + 1: Representa el siguiente número ordinal después de Ω, que es el orden de los números naturales seguido de un elemento adicional.
- Ω × 2: Representa el doble de Ω, que es el orden de los números naturales seguido por dos copias de ellos mismos, y así sucesivamente.
- Ω^Ω: Representa el número ordinal cuyo orden es “el orden de Ω elevado a la potencia de Ω”. Este número ordinal es mucho mayor que Ω y se utiliza para describir conjuntos infinitos con una estructura más complicada.
La teoría de los números transfinitos de Cantor revolucionó la comprensión de la infinitud en las matemáticas y tuvo un profundo impacto en la teoría de conjuntos, la topología, el análisis matemático y otros campos.
También abrió nuevas perspectivas en la comprensión de problemas fundamentales relacionados con la infinitud y la cardinalidad de conjuntos.
